Бесконечно малый объем материала

Если такой объем имеет форму параллелепипеда, то при любом движении тела расстояния между всеми его вершинами и углы между ребрами сохранятся неизменными. Движение такого параллелепипеда можно свести к поступательному перемещению полюса (например, одной из вершин) и вращению около некоторой оси, проходящей через полюс.

Существенным отличием движения деформируемых тел, для изучения которых и предназначена модель сплошной среды, является то, что бесконечно малый параллелепипед деформируемого тела, дополнительно к поступательному перемещению и вращению, изменяет форму и объем.

Могут измениться размеры ребер, а первоначально прямые углы между ребрами станут тупыми или острыми. Эти изменения характеризуют деформацию материала. Если сравниваются две конфигурации бесконечно малого материального объема среды (начальная и конечная), то происшедшее деформирование может быть количественно охарактеризовано тензором деформаций

Характеристикой деформирования движущегося малого материального объема в данный момент времени является тензор скоростей деформаций, диагональные компоненты которого представляют собой скорости удлинения линейных элементов материала по направлению осей пространственных координат, а недиагональные -половину скорости, с которой уменьшается при движении прямой материальный угол. Недиагональные компоненты тензора скоростей деформаций называются скоростями сдвига.

Закон сохранения массы для движущейся сплошной среды выражается уравнением неразрывности. Оно может быть получено как баланс массы для любого пространственного объема сплошной среды, ограниченного неподвижной поверхностью, через которую в данный объем поступает (или выходит) движущаяся среда со скоростью V.

Если поступление массы превышает отток, то общая масса в рассматриваемом фиксированном объеме увеличивается и средняя плотность возрастает. Математическая формулировка уравнения неразрывности имеет вид

Применение уравнения моментов количества движения к бесконечно малому материальному объему сплошной среды приводит к выводу о равенстве касательных напряжений с одинаковыми индексами. Следовательно, матрица обладает симметрией относительно главной диагонали, а число независимых компонент тензора напряжений уменьшается до шести.

В геомеханике для описания механического поведения пород используются модели сплошной среды, основными уравнениями которой являются уравнения неразрывности и движения при симметричном тензоре напряжений.

Для гладких непрерывных распределений характеристик уравнение движения может быть записано в дифференциальной форме

С математической точки зрения система не замкнута: требуются недостающие шесть уравнений. Сущность данной ситуации состоит в том, что только законов сохранения массы и количества движения недостаточно для описания механического поведения сплошной среды. Необходимы, как и вообще в механике, дополнительные сведения о физической природе, закономерностях и свойствах изучаемых тел, на основе которых могут быть сформулированы недостающие математические уравнения.

Конкретный вид дополнительных математических соотношений обычно имеет форму связи между силовыми и кинематическими величинами (например, между тензором напряжений и тензором деформаций или тензором скоростей деформаций) и называется уравнением состояния данной сплошной среды.

.Модели сплошных сред различаются своими уравнениями состояния. Если уравнения неразрывности и движения описывают общие свойства всех сплошных сред, то уравнение состояния определяет специфику данной конкретной сплошной среды.

Уравнения неразрывности, движения и состояния образуют законченную математическую формулировку конкретной модели сплошной среды.