Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) позволяет решать как объемные, так и плоские задачи, однако возможности вычислительной техники пока ограничивают решение объемных задач. При решении плоских задач идеализация сплошной среды заключается в замене ее системой пластинчатых элементов, шарнирно соединенных в узлах. Выделенный элемент имеет те же физические свойства, что и рассматриваемая среда в месте расположения элемента, т. е. сплошное тело условно делится на элементы конечных размеров, число которых также конечно.

Идентификация напряженно-деформированного состояния сплошной среды и среды, разделенной на элементы, достигается выполнением условия сплошности на границах между элементами.

Форма элементов может быть произвольной - треугольной, четырехугольной, прямоугольной. Наиболее простое решение получается при разделении среды на элементы треугольной формы. Между тем сетка разбивки может содержать одновременно элементы разной формы и размеров.

Математически решение задачи в перемещениях сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Число уравнений в общем случае равно удвоенному числу узловых точек сетки разбивки.

Матрица есть вектор, состоящий из членов, которые являются компонентами сил, приложенных в вершинах элементов. Матрица является вектором, состоящим из компонент перемещений, которые определяются при решении системы уравнений. Она называется обобщенной матрицей жесткости системы и формируется по особым правилам из матриц жесткости отдельных элементов. Элементы обобщенной матрицы жесткости, являющиеся коэффициентами алгебраических уравнений, зависят только от координат вершин элементов и показателей деформируемости среды. Сложность конечного выражения обобщенной матрицы жесткости не зависит от степени неоднородности исследуемой области, т. е. каждый элемент может иметь свойства, отличающиеся от других.